Ulfs Blog

16.5.2020, 21:30

Effektive Reproduktionszahl

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In den Medien wird derzeit eine Zahl herumgereicht, der eine große Bedeutung zugemessen wird. Es ist die effektive Reproduktionszahl Reff. Diese Zahl hat weder etwas mit der Basisreproduktionszahl R0 oder der Funktion R – beides aus dem SIR-Modell – zu tun.

Definition

Auch muss man die effektive Reproduktionszahl von der (nicht effektiven) Reproduktionszahl unterscheiden. Die Reproduktionszahl gibt an, wieviele Ansteckungen eine infizierte Person im Durchschnitt verursacht. Dies kann man ohne Infektionskettenverfolgung natürlich weder messen noch berechnen. Deshalb behilft man sich mit der effektiven Reproduktionszahl Reff, die man mit Hilfe der festgestellten Neuinfektionen Jneu (nicht zu verwechseln mit den tatsächlichen Neuinfektionen im SI-Modell Ineu) berechnet.

Es sollte klar sein, dass die Anzahl der Neuinfektionen zeitabhängig (genauer tagesabhängig) sind. Damit ist es die effektive Reproduktionszahl auch. Das Robert-Koch-Institut macht seine Arbeit vorbildlicherweise transparent: Weil die Anzahl der Neuinfektionen für einen bestimmten Tag von den Meldungen auch der folgenden Tage abhängen, kann man Jneu gar nicht seriös für die letzten Tage angeben. Für das Datum der festgestellten Neuinfektion nimmt das RKI den Beginn der Krankheit (und ersatzweise das Meldedatum). Dadurch ergeben sich natürlich Verschiebungen gegenüber dem Datum der tatsächlichen Ansteckung (Inkubationszeit).

Andere Institutionen – wie z. B. die John-Hopkins-Universität oder die EU – haben keine besseren oder aktuelleren Daten aus Deutschland, sondern führen die Schätzungen des RKI (genannt Nowcast) intransparent durch oder verwenden ausschließlich das Meldedatum anstatt den Beginn der Krankheit. Dadurch ergeben sich wochenweise Wellenbewegungen, wie auf der Seite reproduktionszahl-corona.de – die dann noch mit einer fünf-Tage-Skala versteckt werden.

Basierend auf den Nowcast-Daten berechnet das RKI die effektive Reproduktionszahl bisher auf einem gleitenden vier-Tage-Mittelwert. Es werden die festgestellten Neuinfektionen der vergangenen vier Tage addiert und durch die Summe der Neuinfektionen der vier Tage davor geteilt.

R e f f ( t ) := J n e u ( t ) + J n e u ( t 1 ) + J n e u ( t 2 ) + J n e u ( t 3 ) J n e u ( t 4 ) + J n e u ( t 5 ) + J n e u ( t 6 ) + J n e u ( t 7 )

Kritik

Die vier Tage kommen von der geschätzten(!) Zeit, in der Infizierte ansteckend sind. Da die Zahlen Mitte Mai so niedrig geworden sind, dass ein vier-Tage-Intervall zu stärkeren Schwankungen führt, will das RKI in Zukunft auch eine sieben-Tage-Version veröffentlichen. Klar ist, dass die effektive Reproduktionszahl von den festgestellten Neuinfektionen der gesamten letzten Woche (bzw. letzten zwei Wochen) abhängt. Es ist damit kein Maß für den Augenblick.

Datenlage

Da das RKI wegen der großen Unsicherheit der Meldezahlen für die zurückliegenden drei Tage auf deren Verwendung verzichtet, hinkt die effektive Reproduktionszahl rund einer Woche der aktuellen Entwicklung hinterher. Die Zahl ist also Augenwischerei. Erst recht die selbstberechneten Werte auf diversen Webseiten.

Die Eingabezahlen sind außerdem fehlerbehaftet. Bei der Berechnung werden acht fehlerbehaftete Werte als Eingabe verwendet. Dadurch vergrößert sich der Fehler, aber auch die Unsicherheit. Das RKI gibt für die festgestellten Infektionen an einem Tag einen Schätzer an. Nach der Berechnung erhält man wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (Schätzung) des tatsächlichen Wertes. Um mit 95% Sicherheit den richtigen Wert abzudecken, muss das Intervall entsprechend groß werden, so dass es in den letzten Tagen Werte von kleiner und größer 1 umfasst. Damit werden natürlich alle Aussagen über die Zukunft für die Tonne.

Verständnis

Die Berechnung der effektiven Reproduktionszahl entspricht ungefähr der gemittelten Berechnung der Basis einer Exponentialfunktion, in dem man zwei auf einanderfolgende Funktionswerte dividiert. Dies führt zu falschen Vorstellungen: Zum einen entsprechen die Neuinfektionen keiner Exponentialfunktion. Es wird aber so getan, dass dieser Wert konstant sei. Z. B. in der Pressekonferenz von Frau Merkel, nach der viele angaben, froh zu sein, von einer Physikerin regiert zu werden. Dabei müsste sie gerade als Physikerin wissen, dass dieser aus Messwerten berechnete Faktor gar nicht konstant sein kann. Eine seriöse Prognose aufgrund des aktuellen Werts ist sowieso nicht möglich.

Zum anderen wird dann aber doch so getan, als könne man diesen Wert direkt beeinflussen: Der Faktor müsse unter eins »gedrückt« werden. Das ist natürlich auch Blödsinn. Der Wert wird berechnet, so dass wir keinen direkten Einfluss auf ihn haben. Auch auf die »gemessenen« festgestellten Neuinfektionen haben wir nur indirekten Einfluss. Ob und wie stark die getroffenen Maßnahmen tatsächlich die Messwerte ändern, ist mindestens umstritten, aber es wird trotzdem so getan, als ob diese Regelungen den effektiven Reproduktionsfaktor »regeln«.

Es muss nochmals darauf hingewiesen werden, dass allein die Division zweier Funktionswerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten kein exponentielles Wachstum impliziert. Die Division – sei es gemittelt wie bei Reff oder nicht – lässt sich auf allen Funktionen, die im betrachteten Intervall positiv (und damit nicht 0) sind, anwenden. Die Mittelwertbildung irritiert außerdem: Für den Zweck der Division würde man eher das geometrische Mittel als das arithmetische Mittel verwenden.

Bewertung

Die typische Bewertung des effektiven Reproduktionsfaktors sieht so aus, dass Werte kleiner 1 gut und Werte größer 1 schlecht seien. Wenn man sich die Definition anschaut, kann man die Ungleichung (alle Zahlenwerte sind nicht-negativ) umstellen und erhält einen einfachen Vergleich von gemittelten festgestellten Neuinfektionen.

Man kann sich also auch gleich die Kurve der festgestellten Neuinfektionen auf dem Dashboard des RKI oder besser – mit Nowcast – im Situationsbericht des RKI anschauen: Sinken die Fallzahlen ist es gut, sonst schlecht. Das ist trivial und vor allem für jeden leicht verständlich. Mehr braucht man eigentlich nicht.

Der Hokuspokus der effektiven Reproduktionszahl bedeutet dagegen nur Herrschaftswissen und reagiert deutlich verzögert auf Änderungen der festgestellten Infektionen. Er ist ein Instrument der Angstmache.