Ulfs Blog

5.5.2020, 19:00

Exponentialfunktion

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Besonders Ende Februar und Anfang März konnte man besonders oft von Autoren lesen, dass »die Menschen« die Exponentialfunktion bzw. exponentielles Wachstum nicht erfassen würden. Natürlich habe der jeweilige Autor aber den großen Durchblick. Nun, da kann man auch anderer Meinung sein. Fangen wir mit der Mathemtik der Exponentialfunktion an.

Definition

Die Exponentialfunktion wird in der Mathematik mithilfe einer Potenzreihe an der Stelle 0 definiert:

exp : x R k = 0 x k k !

Dass diese Reihe tatsächlich für alle xR konvergiert, muss man natürlich erstmal beweisen. Dabei kann man die Funktion nicht nur für alle xR definieren, sondern genauso für die komplette komplexe Zahlenebene zC.

Ableitung

Die wichtigste mathematische Eigenschaft der Exponentialfunktion ist, dass sie auf der ganzen Zahlenachse (und auch der komplexen Zahlenebene) stetig differenzierbar ist und überall ihrer Ableitung entspricht. Sie ist also bzgl. des Ableitungsoperators δδx die Identität:

x R : d d x exp x = exp x

Der Beweis sieht trivial aus, wenn man sich die Definition nochmal anschaut, aber er ist es nicht, weil dabei zwei Grenzwertprozesse in der Reihenfolge getauscht werden (Ableitung und Reihe) und dafür erst die Voraussetzungen geprüft werden müssen.

Eulersche Zahl

Der Funktionswert der Exponentialfunktion an der Stelle 0 ist 1 (da x0=1 auch für x=0). Außerdem definiert man die Eulersche Zahl e als Funktionswert an der Stelle 1:

e := exp 1

Umkehrfunktion

Es gilt außerdem (hier ohne Beweis), dass die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist und genau alle positiven reellen Zahlen einnimmt. Damit lässt sich eine Umkehrfunktion definieren, die man natürlichen Logarithmus nennt:

ln := exp 1

Exponentielle Funktionen

Die Exponentialfunktion erfüllt folgende Eigenschaft, die man natürlich erst beweisen muss (Cauchy-Produkt, Binomischer Lehrsatz):

x 1 , x 2 R : exp ( x 1 + x 2 ) = exp x 1 exp x 2

Damit kann man die Exponentialfunktion als Potenz mit der Basis e interpretieren, die man ansonsten nur für rationale Zahlen x direkt definieren kann. Auch dies hier ohne Beweis:

x R : e x := exp x

Mit dem natürlichen Logarithmus lassen sich jetzt die exponentiellen Funktionen definieren, wobei man noch zeigen muss, dass die üblichen Rechenregeln gelten.

a R > 0 , x R : a x := e x p ( x ln a ) = e x ln a

Natur

Entscheidend bei den exponentiellen Funktionen ist, dass die Basis a konstant ist! Ist sie das nicht, ist es keine exponentielle Funktion! Hier wird der entscheidende Fehler bzgl. des Corona-SARS-2-Virus gemacht: Eine angebliche »exponentielle« Ausbreitung – oft als Verdopplung angegeben – ist eben keine: Nach einer Woche sind 100 Deutsche infiziert, nach zwei Wochen 10.000 und nach drei Wochen schon eine Million… Eine exponentielle Funktion bricht aber nicht ab, deshalb sind nach fünf Wochen mehr Deutsche infiziert als es Menschen gibt und nach zwei Jahren mehr Deutsche als es Atome im Universum gibt.

Entsprechend tritt die Exponentialfunktion in der Natur nirgends(!) als dominanter Term auf, wenn der Funktionswert x mit der Zeit beliebig groß wird. Weder Virusinfektionen noch Bakterienwachstum sind unbeschränkt. Wo die Exponentialfunktion in der Natur dagegen auftritt, sind statistische Verfallsprozesse. Allgemein bekannt sein dürfte die Halbwertzeit radioaktiver Isotope – hier ist a=1/2. Dabei handelt es sich aber nicht um Wachstum, sondern um eine Abnahme.

Informatik

In der Informatik hat man es auch mit exponentiellen Funktionen zu tun. Wegen der zugrundeliegenden Binärlogik nimmt man a=2 und definiert dazu den binären Logarithmus – also zu Basis 2:

lb := log 2 := ln ln 2

Exponentialfunktion und Logarithmus tauchen hier vor allem bei Laufzeitbetrachtungen auf. So verdoppelt sich z. B. mit jedem zusätzlichem Bit die Anzahl der darstellbaren Zahlen. Dies macht man sich bei kryptografischen Verfahren zunutze: In dem man die Schlüssellänge linear erhöht (x), braucht ein Angreifer exponentiell mehr Zeit/Resourcen (2x).