Ulfs Blog

7.5.2020, 19:30

Logistische Funktion

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Die Exponentialfunktion taugte nicht mehr zum Panikverbreiten, weil die Leser festgestellt haben, dass das Modell weder berücksichtigt, dass es Infizierte gibt, noch dass es nur endlich viele Menschen gibt. Um trotzdem Herrschaftswissen zu demonstrieren, wird vom SIR-Modell und von der Logistischen Funktion geschrieben.

Definition

Die Logistische Funktion ist dabei die Lösung einer Differentialgleichung, deren Form durch das SI-Modell vorgegeben wird. Das SI-Modell hat zwei Größen S und I, welche die Anzahl der noch nicht angesteckten (susceptible) und der angesteckten (infectious) Personen über die Zeit bezeichnen. Die Gesamtzahl der Individuen ist mit N=I(t)+S(t) konstant. Zusätzlich gibt es noch einen konstanten Infektionsfaktor β. Man nimmt dann an, dass die Neuinfektionen Ineu proportional zur Anzahl der angesteckten und proportional zur Anzahl der nicht angesteckten Personen ist (es gibt mehr neue Kranke, wenn es mehr Kranke gibt und auch wenn es mehr Gesunde gibt). Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann:

I n e u ( t ) = β I ( t ) S ( t ) N = β I ( t ) ( N I ( t ) ) N d S d t ( t ) = I n e u ( t ) d I d t ( t ) = I n e u ( t )

In der ersten Gleichung ist S schon eliminiert, so dass wir es mit einer Differentialgleichung zu tun haben. Man kann nun nach Lösungen dieser Gleichung suchen. Üblicherweise lassen sich sehr viele Lösungen finden, von denen man sich eine aussucht, die einer bestimmten Anfangsbedingung genügt. In diesem Fall wäre diese Randbedingung I(0)=1, d. h. wir starten mit einer infizierten Person. Die Lösung heißt Logistische Funktion und sieht dann so aus:

I ( t ) = N 1 + ( N 1 ) e β t

SIR-Modell

Beim SIR-Modell separiert man von I noch die mit R (removed) bezeichneten Personen, die nicht mehr infektiös sind, weil sie geheilt oder tot sind. Die Gesamtpopulation N=R(t)+I(t)+S(t) bleibt wieder konstant. Neben den Neuinfektionen hat man dann Genesungen (und Todesfälle) Rneu, die proportional zu der Anzahl der Infizierten sind. Der Proportionalitätsfaktor wird mit γ bezeichnet.

R n e u ( t ) = γ I ( t ) d S d t ( t ) = I n e u ( t ) d I d t ( t ) = I n e u ( t ) R n e u ( t ) d R d t ( t ) = R n e u ( t )

Die Lösung des Differentialgleichungssystems des SIR-Modells wird üblicherweise numerisch berechnet. Es können aber bestimmte Größen und Eigenschaften aus den Gleichungen hergeleitet werden. In den Medien wird ab und zu von der Basisreproduktionszahl R0 gesprochen (die aber nichts mit der Funktion R zu tun hat):

R 0 = β γ

Bei den Infizierten gibt es jetzt ein Maximum, weil deren Anzahl durch die Gesundungen auch wieder sinkt. Das Maximum der Infiziertenanzahl ist erreicht, wenn die Ableitung von I den Wert 0 annimmt (was übrigens nicht heißt, dass sich niemand mehr infiziert, sondern, dass mehr gesunden/sterben als sich neu infizieren). Daraus kann man dann eine Herdenimmunität herleiten:

0 = d I d t ( t 0 ) = β I ( t 0 ) S ( t 0 ) N γ I ( t 0 ) = I ( t 0 ) ( β S ( t 0 ) N γ ) β S ( t 0 ) N = γ β γ S ( t 0 ) = N S ( t 0 ) = N R 0 N S ( t 0 ) = N N R 0 = N R 0 1 R 0

Ist der Anteil der Menschen, die immun sind (also nicht mehr infizierbar), größer als R01R0, dann sinkt der Anteil an infektiösen Menschen, so dass eine Epidemie zusammenbricht (Herdenimmunität).

Man kann weitere Werte direkt berechnen, wie die Anzahl der Personen, die sich auf lange Sicht irgendwann mal infizieren und damit auch die Anzahl jener, die nie infiziert werden. Man kann das Modell um die Anzahl der Toten erweitern. Man kann das Modell auch erweitern um Infizierte, die noch nicht infektiös sind. Allen diesen Modellen ist gemein, dass sie zu einfachen Differentialgleichungssystemen führen.

Kritik

Es gibt verschiedene Probleme dieser Modelle. Zunächst sind diese Modelle so einfach gehalten, dass man sie sehr schön als Beispiele für Differentialgleichungen und -gleichungssysteme nehmen kann. Man kann – wie oben gesehen – prima damit rumrechnen und auch die numerische Berechnung ist nicht schwierig.

Fehler im Modell

Nichtsdestotrotz gibt es damit aber systematische Fehler. Im SIR-Modell ist das Problem, dass die Gesundungen proportional zu den Infizierten sind. Dies ist aber falsch. Die Gesundungen (und Todesfälle) sind eigentlich identisch mit den Neuinfizierten ein Zeitintervall davor (Krankenzeit). Auch diese Krankenzeit ist natürlich nur ein Durchschnittswert. Korrekterweise (eigentlich haben wir es mit einer Zufallsverteilung zu tun, über die wir integrieren müssten) sollte es also (mit der Krankenzeit τ) heißen:

R n e u ( t ) = I n e u ( t τ )

Damit wird das Differentialgleichungssystem aber ungleich komplexer, auch weil man dann für t<0 Werte sinnvoll definieren muss. Die Schlussfolgerungen des SIR-Modells von oben lassen sich ebenfalls nicht mehr so einfach ziehen.

Fehlende Voraussetzungen

Die gesamte Mathematik hinter den SI- und SIR-Modellen setzt stetig differenzierbare Funktionen S, I und R voraus. Dies ist aber definitiv nicht gegeben, weil alle drei Funktionen Individuen zählen und damit maximal ganzzahlig sind. Ganzzahlige Funktionen sind aber entweder konstant oder nicht einmal stetig. Ein drittel Mensch infiziert eben keinen zehntel Mensch.

Nun könnte man sagen, dass man für große N von einer guten Näherung ausgehen kann. Allerdings werden aus den Gleichungen des SIR-Modells auch weitere Größen abgeleitet und auch Schlußfolgerungen gezogen. Das ist aber eigentlich schlicht falsch.

Da es sich sowieso um statistische Prozesse handelt, müsste man dann wenigstens Fehlerintervalle angeben. Dies wird aber nicht gemacht, was auch nicht verwundert. Denn Eingangsfehler in Differentialgleichungen verbreiten sich oft exponentiell, was daran liegt, dass die Exponentialfunktion die Identität bezüglich der Ableitung ist. Wohlgemerkt kann der Fehler auch kleiner sein, aber man kann eben keine besseren mathematischen Schranken beweisen.

Falsche Voraussetzungen

Ein meist wenig beachteter Punkt ist die versteckte Voraussetzung, dass alle Menschen miteinander verbunden sein müssen. Beide Modelle gehen davon aus, dass es für alle Infizierten eine Wahrscheinlichkeit gibt, mit der jeder einen Nichtinfizierten infiziert. Dies ist aber nur richtig, wenn es keine bedingten Wahrscheinlichkeiten gibt, also wirklich jeder Infizierte einen Kontakt zu jedem Nichtinfizierten haben könnte und nicht anderweitig in der Auswahl eingeschränkt ist.

Dieser Kontakt muss einer sein, der eine Infizierung ermöglicht. Offensichtlich mag dies in einer Kindergartengruppe der Fall sein, aber allgemein ist dies eine ziemlich gewagte Voraussetzung, die praktisch nirgends erfüllt sein dürfte. Im nächsten Beitrag soll es dann um ein Gegenmodell gehen.