Ulfs Blog

13.5.2020, 19:30

Spiel des Lebens

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Logistische Funktion und SIR-Modell haben eine nicht erfüllbare Voraussetzung: Sie gehen davon aus, dass jedes Individuum jedes andere anstecken kann. Dies ist eine Konsequenz aus der Proportionalität der Neuinfektionen zur Anzahl der Infektiösen und der Anzahl der noch nicht Infizierten. Die Realität sieht natürlich komplett anders aus.

Allgemein kann man sich die Beziehungen zwischen Individuen als Graphen vorstellen. Wenn jeder mit jedem verbunden ist, erhält man einen sehr trivialen Graphen. Die reale Gesellschaft dürfte mit einem sehr stark ausgedünnten Graphen viel besser modelliert werden. Man darf sich die Verbundenheit aber nicht vorstellen, dass jemand jemanden kennt – und dann über fünf Ecken jeden anderen Menschen kennt. Stattdessen geht es hier um Kontakte, bei denen eine Virusinfektion (vom Typ Corona) möglich ist – wozu das »Kennen« nicht nötig ist, dafür aber physikalische Nähe. D. h. aber auch, dass der Graph sich zeitlich verändert – kurzfristig, weil andere Leute in die Stadtbahn einsteigen und mittelfristig, weil die Leute angesichts der Ansteckungsgefahr ihr Verhalten ändern.

In diesem Beitrag geht es um ein Gegenmodell zum SIR-Modell. Aber nicht in dem Sinne, dass dieses ersetzt werden sollte, sondern vor allem um aufzuzeigen, wie die Änderung der obengenannten Voraussetzung die mathematischen Gleichungen komplett ändern. Es dient also dem Erkennen, dass die SI-Modelle aus mathematischer Sicht nicht als Modell der Realität taugen.

John Horton Conway

Am 11. April 2020 starb der britische Mathematiker John Horton Conway an Covid-19. Conway war bekannt für sein »Null-Personen-Spiel« Game of Life.

Das Spielfeld ist die gesamte Ebene, wobei diese in quadratische Felder eingeteilt wird, so dass man das Spielfeld als Z2 modellieren kann. Jedes Feld repräsentiert eine Zelle, die entweder tot ist (0) oder am Leben ist (1). Es gibt eine Spielregel f, welche das gesamte Spielfeld einen Schritt weiterentwickelt. Diese Regel wird dann für eine Startposition S0{0,1}Z2 unendlich oft sukzessive angewandt:

f : { 0 , 1 } Z 2 { 0 , 1 } Z 2 S 0 { 0 , 1 } Z 2 , n N : S n + 1 := f ( S n )

Natürlich ist es enorm unpraktisch eine Regel zu definieren, die jedem möglichen Zustand des Spielfelds einen Folgezustand zuweist, deshalb hat Conway – inspiriert durch zelluläre Automaten – eine Regel g für alle Felder definiert, die ausschließlich auf dem alten Wert des Feldes und der acht Nachbarn (also inklusive der Diagonale) basiert. Genauer wird die Anzahl der lebenden Nachbarzellen gezählt.

g : { 0 , 1 } × { 0 , . . . , 8 } { 0 , 1 } f ( S ) := { g ( z i , j , | { ( k , l ) Z 2 z k , l = 1 k l | i k | = | j l | = 1 } | ) z i , j S }

Bei der speziellen Regel Conways bleiben lebende Zellen genau dann am Leben, wenn sie zwei oder drei lebende Nachbarn haben. Außerdem entsteht neues Leben, bei genau drei lebenden Nachbarn. Alle anderen Zellen sterben oder bleiben tot.

g C o n w a y ( z , n ) = { 1 ( z = 1 n = 2 ) n = 3 0 sonst

Das Schöne an dieser Regel ist, dass sich aus relativ einfachen Startmustern sehr komplexe Verhaltensweisen bilden. Dies reicht von stabilen Mustern über pulsierenden zu sich bewegenden Figuren und darüberhinaus zu nicht vorhersehbaren (chaotischen) Abläufen. Doch dies soll nur als Anreger dienen. Im folgenden werden wir für unsere Zwecke eine ganz einfache Infektionsregel verwenden.

2 3 4 5 2 3 4 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 5 1 2 3 3 4 4 1 2 3 3 5 1 2 3 3 4 4 1 2 3 3 5

»Spiel der Infektionen«

Statt die Felder als Zellen zu betrachtem, sollen es Personen sein, die entweder nicht infiziert sind (0) oder eben infiziert (1). Die Infektionsregel ist sehr einfach: Jede infizierte Person steckt alle ihre Nachbarn an:

g V i r u s ( z , n ) = { 1 n > 0 z = 1 0 sonst

Startet man mit einer infizierten Person, dann steckt diese ihre acht Nachbarn an. Im nächsten Schritt stecken diese wieder ihre Nachbarn an, usw.. Es zeigt sich, dass die Neuinfektionen linear steigen:

I n e u ( n ) = 8 + 8 n , n = 0 , 1 , 2 , . . .

Dies liegt daran, dass jeder alte Neuinfizierte, genau eine weitere Person ansteckt – bis auf die Personen in den vier Ecken, die jeweils noch zwei weitere anstecken.

Warum findet hier keine »exponentielle« Ausbreitung statt? Weil nach dem ersten Schritt Altinfizierte niemanden mehr anstecken können und Neuinfizierte bei ihren Kontaktmöglichkeiten sehr eingeschränkt sind. Die Wahrscheinlichkeit, unter den Nachbarn bereits einen Infizierten zu finden, ist ca. 5/8. Unter Berücksichtigung der Annahme, dass man eine Person nur einmal infizieren kann (auch innerhalb eines Schritts), erhöht sich die Wahrscheinlichkeit auf ca. 7/8 (»ca.« deshalb, weil die Wahrscheinlichkeit in den Ecken kleiner ist).

Wichtig ist, dass in diesem Modell die Wahrscheinlichkeit, Infizierte zu kontaktieren, praktisch unabhängig von dem Verhältnis Gesamtinfizierte zu Gesamtpopulation ist, wie es im SI-Modell angenommen wird. Es ist genau die Lokalität des verwendeten Graphen, welche dies bewirkt. Dieses Modell hat natürlich mit der Realität auch nichts zu tun. Es lässt sich ja nicht leugnen, dass es Orte gibt, wo das Virus auf mehr als acht Menschen überspringen kann, wie z. B. Großveranstaltungen. Außerdem sind die Kontakte zwischen den Menschen nicht so aufs Lokale eingeschränkt: Bahnfahrten und Flüge werden dadurch ignoriert.

Aber es sollte klar geworden sein, dass auch die SI-Modelle an der Realität komplett vorbeigehen. Insbesondere, wenn Menschen ihr Verhalten ändern, weil sie Abstand wahren, nach Körperkontakt die Hände waschen, häufig berührte Oberflächen regelmäßig desinfiziert werden und sich bei Fieber zuhause isolieren, wird eine Verbreitung massiv eingeschränkt, weil die Anzahl der unmittelbaren Nachbarn sehr viel kleiner ist als selbst in diesem einfachen Modell.